生物數學

生物數學是生物學與數學之間的邊緣學科。它以數學方法研究和解決生物學問題，并對與生物學有關的數學方法進行理論研究。

　　生物數學的分支學科較多，從生物學的應用去劃分，有數量分類學、數量遺傳學、數量生態學、數量生理學和生物力學等；從研究使用的數學方法劃分，又可分為生物統計學、生物信息論、生物系統論、生物控制論和生物方程等分支。這些分支與前者不同，它們沒有明確的生物學研究對象，只研究那些涉及生物學應用有關的數學方法和理論。

　　生物數學具有豐富的數學理論基礎，包括集合論、概率論、統計數學、對策論、微積分、微分方程、線性代數、矩陣論和拓撲學，還包括一些近代數學分支，如信息論、圖論、控制論、系統論和模糊數學等。

　　由于生命現象復雜，從生物學中提出的數學問題往往十分復雜，需要進行大量計算工作。因此，計算機是研究和解決生物學問題的重要工具。然而就整個學科的內容而論，生物數學需要解決和研究的本質方面是生物學問題，數學和電腦僅僅是解決問題的工具和手段。因此，生物數學與其他生物邊緣學科一樣通常被歸屬于生物學而不屬于數學。

　　生命現象數量化的方法，就是以數量關系描述生命現象。數量化是利用數學工具研究生物學的前提。生物表現性狀的數值表示是數量化的一個方面。生物內在的或外表的，個體的或群體的，器官的或細胞的，直到分子水平的各種表現性狀，依據性狀本身的生物學意義，用適當的數值予以描述。

　　數量化的實質就是要建立一個集合函數，以函數值來描述有關集合。傳統的集合概念認為一個元素屬于某集合，非此即彼、界限分明。可是生物界存在著大量界限不明確的模糊現象，而集合概念的明確性不能貼切地描述這些模糊現象，給生命現象的數量化帶來困難。1965年扎德提出模糊集合概念，模糊集合適合于描述生物學中許多模糊現象，為生命現象的數量化提供了新的數學工具。以模糊集合為基礎的模糊數學已廣泛應用于生物數學。

　　數學模型是能夠表現和描述真實世界某些現象、特征和狀況的數學系統。數學模型能定量地描述生命物質運動的過程，一個復雜的生物學問題借助數學模型能轉變成一個數學問題，通過對數學模型的邏輯推理、求解和運算，就能夠獲得客觀事物的有關結論，達到對生命現象進行研究的目的。

　　比如描述生物種群增長的費爾許爾斯特-珀爾方程，就能夠比較正確的表示種群增長的規律；通過描述捕食與被捕食兩個種群相克關系的洛特卡-沃爾泰拉方程，從理論上說明：農藥的濫用，在毒殺害蟲的同時也殺死了害蟲的天敵，從而常常導致害蟲更猖獗地發生等。

　　還有一類更一般的方程類型，稱為反應擴散方程的數學模型在生物學中廣為應用，它與生理學、生態學、群體遺傳學、醫學中的流行病學和藥理學等研究有較密切的關系。60年代，普里戈任提出著名的耗散結構理論，以新的觀點解釋生命現象和生物進化原理，其數學基礎亦與反應擴散方程有關。

　　由于那些片面的、孤立的、機械的研究方法不能完全滿足生物學的需要，因此，在非生命科學中發展起來的數學，在被利用到生物學的研究領域時就需要從事物的多方面，在相互聯系的水平上進行全面的研究，需要綜合分析的數學方法。

　　多元分析就是為適應生物學等多元復雜問題的需要、在統計學中分化出來的一個分支領域，它是從統計學的角度進行綜合分析的數學方法。多元統計的各種矩陣運算，體現多種生物實體與多個性狀指標的結合，在相互聯系的水平上，綜合統計出生命活動的特點和規律性。

　　生物數學中常用的多元分析方法有回歸分析、判別分析、聚類分析、主成分分析和典范分析等。生物學家常常把多種方法結合使用，以期達到更好的綜合分析效果。

　　多元分析不僅對生物學的理論研究有意義，而且由于原始數據直接來自生產實踐和科學實驗，有很大的實用價值。在農、林業生產中，對品種鑒別、系統分類、情況預測、生產規劃以及生態條件的分析等，都可應用多元分析方法。醫學方面的應用，多元分析與電腦的結合已經實現對疾病的診斷，幫助醫生分析病情，提出治療方案。

　　系統論和控制論是以系統和控制的觀點，進行綜合分析的數學方法。系統論和控制論的方法沒有把那些次要的因素忽略，也沒有孤立地看待每一個特性，而是通過狀態方程把錯綜復雜的關系都結合在一起，在綜合的水平上進行全面分析。對系統的綜合分析也可以就系統的可控性、可觀測性和穩定性作出判斷，更進一步揭示該系統生命活動的特征。

　　在系統和控制理論中，綜合分析的特點還表現在把輸出和狀態的變化反饋對系統的影響，即反饋關系也考慮在內。生命活動普遍存在反饋現象，許多生命過程在反饋條件的制約下達到平衡，生命得以維持和延續。對系統的控制常常*反饋關系來實現。

　　生命現象常常以大量、重復的形式出現，又受到多種外界環境和內在因素的隨機干擾。因此概率論和統計學是研究生物學經常使用的方法。生物統計學是生物數學發展最早的一個分支，各種統計分析方法已經成為生物學研究工作和生產實踐的常規手段。

　　概率與統計方法的應用還表現在隨機數學模型的研究中。原來數學模型可分為確定模型和隨機模型兩大類如果模型中的變量由模型完全確定，這是確定模型；與之相反，變量出現隨機性變化不能完全確定，稱為隨機模型。又根據模型中時間和狀態變量取值的連續或離散性，有連續模型和離散模型之分。前述幾個微分方程形式的模型都是連續的、確定的數學模型。這種模型不能描述帶有隨機性的生命現象，它的應用受到限制。因此隨機模型成為生物數學不可缺少的部分。

　　60年代末，法國數學家托姆從拓撲學提出一種幾何模型，能夠描繪多維不連續現象，他的理論稱為突變理論。生物學中許多處于飛躍的、臨界狀態的不連續現象，都能找到相應的躍變類型給予定性的解釋。躍變論彌補了連續數學方法的不足之處，現在已成功地應用于生理學、生態學、心理學和組織胚胎學。對神經心理學的研究甚至已經指導醫生應用于某些疾病的臨床治療。

　　繼托姆之后，躍變論不斷地發展。例如塞曼又提出初級波和二級波的新理論。躍變理論的新發展對生物群落的分布、傳染疾病的蔓延、胚胎的發育等生物學問題賦予新的理解。

　　上述各種生物數學方法的應用，對生物學產生重大影響。20世紀50年代以來，生物學突飛猛進地發展，多種學科向生物學滲透，從不同角度展現生命物質運動的矛盾，數學以定量的形式把這些矛盾的實質體現出來。從而能夠使用數學工具進行分析；能夠輸入電腦進行精確的運算；還能把來自名方面的因素聯系在一起，通過綜合分析闡明生命活動的機制。

　　總之，數學的介入把生物學的研究從定性的、描述性的水平提高到定量的、精確的、探索規律的高水平。生物數學在農業、林業、醫學，環境科學、社會科學和人口控制等方面的應用，已經成為人類從事生產實踐的手段。

　　數學在生物學中的應用，也促使數學向前發展。實際上，系統論、控制論和模糊數學的產生以及統計數學中多元統計的興起都與生物學的應用有關。從生物數學中提出了許多數學問題，萌發出許多數學發展的生長點，正吸引著許多數學家從事研究。它說明，數學的應用從非生命轉向有生命是一次深刻的轉變，在生命科學的推動下，數學將獲得巨大發展。

　　當今的生物數學仍處于探索和發展階段，生物數學的許多方法和理論還很不完善，它的應用雖然取得某些成功，但仍是低水平的、粗略的、甚至是勉強的。許多更復雜的生物學問題至今未能找到相應的數學方法進行研究。因此，生物數學還要從生物學的需要和特點，探求新方法、新手段和新的理論體系，還有待發展和完善。