6174猜想

1955年,卡普耶卡(D.R.Kaprekar)研究了對四位數(shù)的一種變換:任給出四位數(shù)k0,用它的四個數(shù)字由大到小重新排列成一個四位數(shù)m,再減去它的反序數(shù)rev(m),得出數(shù)k1=m-rev(m),然后,繼續(xù)對k1重復(fù)上述變換,得數(shù)k2.如此進行下去,卡普耶卡發(fā)現(xiàn),無論k0是多大的四位數(shù), 只要四個數(shù)字不全相同,最多進行7次上述變換,就會出現(xiàn)四位數(shù)6174.例如:

　　k0=5298,k1=9852-2589=7263,k2=7632-2367=5265,k3=6552-2556=3996,k4=9963-3699=6264,k5=6642-2466=4176,k6=7641-1467=6174.

　　后來,這個問題就流傳下來,人們稱這個問題為"6174問題",上述變換稱為卡普耶卡變換,簡稱 K 變換.

　　一般地,只要在0,1,2,...,9中任取四個不全相等的數(shù)字組成一個整數(shù)k0(不一定是四位數(shù)),然后從k0開始不斷地作K變換,得出數(shù)k1,k2,k3,...,則必有某個m(m=<7),使得km=6174.

　　更一般地,從0,1,2,...,9中任取n個不全相同的數(shù)字組成一個十進制數(shù)k0(不一定是n位數(shù)),然后,從k0開始不斷地做K變換,得出k1,k2,...,那么結(jié)果會是怎樣的呢?現(xiàn)在已經(jīng)知道的是:

　　n=2,只能形成一個循環(huán):(27,45,09,81,63).例如取兩個數(shù)字7與3,連續(xù)不斷地做K變換,得出:36,27,45,09,81,27,...出現(xiàn)循環(huán).

　　n=3,只能形成一個循環(huán):(495).

　　n=4,只能形成一個循環(huán):(6174).

　　n=5,已經(jīng)發(fā)現(xiàn)三個循環(huán):(53855,59994),(62964,71973,83952,74943),(63954,61974,82962,75933).

　　n=6,已經(jīng)發(fā)現(xiàn)三個循環(huán):(642654,...),(631764,...),(549945,...).

　　n=7,已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一個循環(huán):(8719722,...).

　　n=8,已經(jīng)發(fā)現(xiàn)四個循環(huán):(63317664),(97508421),(83208762,...),(86308632,...)

　　n=9,已經(jīng)發(fā)現(xiàn)三個循環(huán):(864197532),(975296421,...),(965296431,...)

　　容易證明,對于任何自然數(shù)n>=2,連續(xù)做K變換必定要形成循環(huán).這是因為由n個數(shù)字組成的數(shù)只有有限個的緣故.但是對于n>=5,循環(huán)的個數(shù)以及循環(huán)的長度(指每個循環(huán)中所包含數(shù)的個數(shù))尚不清楚,這也是國內(nèi)一些數(shù)學愛好者熱衷于研究的一個課題.