廣義克拉茨

人們注意到克拉茨迭代所得的C數列中,取奇數的項更為重要,因此,人們引進了簡化克拉茨函數:

　　C(x)=(3x+1)/2e(x)

　　其中e(x)是3x+1所含的素因子2的個數.例如,當x=29時,3x+1=88=23*11,e(29)=3,對應的簡化C數列為

　　11,17,13,5,1,1,...

　　路徑由原來的18減少到5,更有利于C迭代的研究.

　　一般地,設a,b是正整數,a>1,且b為奇數,廣義克拉茨函數是C(x)=(ax+b)/2e(x)

　　其中x取正奇數,e(x)是ax+b所含素因子2的個數.顯然,a=3,b=1就是3x+1問題.

　　ax+b問題就是,對于任何一個正奇數x,經過有限次的廣義C迭代最終是否可得到1?

　　令人感到意外的是,ax+b問題有可能以否定的形式而解決,人們估計下面的ax+b猜想是正確的:

　　除了a=3,b=1(即3x+1問題)外,對于其他的正整數a,b(a>1,b為奇數)都可以找到一個正奇數r,使得r的廣義C迭代中始終不出現1.

　　實際上,取r=bt(t為任意正奇數),則

　　C(r)*2e(r)=ar+b=(at+1)b

　　如果b>1,則C(r)必能被b整除,從而r的廣義C數列各項都能被大于1的數b整除,永遠的不到1,此時,猜想是正確的.

　　如果b=1,則當a為偶數時,C(x)*2e(x)=ax+1恒為奇數且C數列是遞增的,C迭代不會得到1,而當a是奇數時,ax+1猜想就是:

　　對于給定的奇數a>3,必定存在某個正奇數r,使得r的廣義C迭代,即C(x)=(ax+1)/2e(x)不出現1.

　　1978年,克蘭多爾已經證明,當a=5,181,1093時候,上述猜想是正確的.

　　(1)5x+1問題:C(x)=(5x+1)/2e(x)

　　取r=13,則r的廣義C迭代數列是33,83,13,33,...出現循環(33,83,13),不出現1.

　　(2)181x+1問題:C(x)=(181x+1)/2e(x)

　　取r=27,則r的廣義C迭代數列是611,27,611,27,...出現循環(611,27),不出現1.

　　(3)1093x+1問題:C(x)=(1093x+1)/2e(x)

　　取s=(2364k-1)/1093(其中k為任意自然數),則1093+1=2364k,故e(s)=364k,C(s)=1.可以證明這是1093x+1問題中能達到1的僅有的一祖數,而對于其他任何正奇數r(不等于s),則C迭代可以無限地進行下去,永遠得不到1.

　　此外,有人研究了7x+1問題,對于r=3的迭代項數已經超過102000,仍然看不出任何重復的跡象,看來7x+1猜想很可能也是正確的.但還沒有從理論上加以證明.

　　到目前為止,ax+1問題遠未解決.