《幾何原本》

《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，是當(dāng)時(shí)整個(gè)希臘數(shù)學(xué)成果、方法、思想和精神的結(jié)晶，其內(nèi)容和形式對(duì)幾何學(xué)本身和數(shù)學(xué)邏輯的發(fā)展有著巨大的影響。自它問世之日起，在長(zhǎng)達(dá)二千多年的時(shí)間里一直盛行不衰。它歷經(jīng)多次翻譯和修訂，自1482年第一個(gè)印刷本出版后，至今已有一千多種不同的版本。除了《圣經(jīng)》之外，沒有任何其他著作，其研究、使用和傳播之廣泛，能夠與《幾何原本》相比。但《幾何原本》超越民族、種族、宗教信仰、文化意識(shí)方面的影響，卻是《圣經(jīng)》所無法比擬的。

　　公元前7世紀(jì)之后，希臘幾何學(xué)迅猛地發(fā)展，積累了豐富的材料。希臘學(xué)者們開始對(duì)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)作有計(jì)劃的整理，并試圖將其組成一個(gè)嚴(yán)密的知識(shí)系統(tǒng)。首先做出這方面嘗試的是公元前5世紀(jì)的希波克拉底（Hippocrates），其后經(jīng)過了眾多數(shù)學(xué)家的修改和補(bǔ)充。到了公元前4世紀(jì)時(shí)，希臘學(xué)者們已經(jīng)為建構(gòu)數(shù)學(xué)的理論大廈打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

　　歐幾里得在前人工作的基礎(chǔ)之上，對(duì)希臘豐富的數(shù)學(xué)成果進(jìn)行了收集、整理，用命題的形式重新表述，對(duì)一些結(jié)論作了嚴(yán)格的證明。他最大的貢獻(xiàn)就是選擇了一系列具有重大意義的、最原始的定義和公理，并將它們嚴(yán)格地按邏輯的順序進(jìn)行排列，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行演繹和證明，形成了具有公理化結(jié)構(gòu)的，具有嚴(yán)密邏輯體系的《幾何原本》。

　　《幾何原本》的希臘原始抄本已經(jīng)流失了，它的所有現(xiàn)代版本都是以希臘評(píng)注家泰奧恩（Theon，約比歐幾里得晚七百年）編寫的修訂本為依據(jù)的。《幾何原本》的泰奧恩修訂本分13卷，總共有465個(gè)命題，其內(nèi)容是闡述平面幾何、立體幾何及算術(shù)理論的系統(tǒng)化知識(shí)。

　　第一卷首先給出了一些必要的基本定義、解釋、公設(shè)和公理，還包括一些關(guān)于全等形、平行線和直線形的熟知的定理。該卷的最后兩個(gè)命題是畢達(dá)哥拉斯定理及其逆定理。這里我們想到了關(guān)于英國(guó)哲學(xué)家T．霍布斯的一個(gè)小故事：有一天，霍布斯在偶然翻閱歐幾里得的《幾何原本》，看到畢達(dá)哥拉斯定理，感到十分驚訝，他說：“上帝啊！這是不可能的。”他由后向前仔細(xì)閱讀第一章的每個(gè)命題的證明，直到公理和公設(shè)，他終于完全信服了。

　　第二卷篇幅不大，主要討論畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的幾何代數(shù)學(xué)。

　　第三卷包括圓、弦、割線、切線以及圓心角和圓周角的一些熟知的定理。這些定理大多都能在現(xiàn)在的中學(xué)數(shù)學(xué)課本中找到。第四卷則討論了給定圓的某些內(nèi)接和外切正多邊形的尺規(guī)作圖問題。

　　第五卷對(duì)歐多克斯的比例理論作了精彩的解釋，被認(rèn)為是最重要的數(shù)學(xué)杰作之一。據(jù)說，捷克斯洛伐克的一位并不出名的數(shù)學(xué)家和牧師波爾查諾（Bolzano，1781－1848），在布拉格度假時(shí)，恰好生病，為了分散注意力，他拿起《幾何原本》閱讀了第五卷的內(nèi)容。他說，這種高明的方法使他興奮無比，以致于從病痛中完全解脫出來。此后，每當(dāng)他朋友生病時(shí)，他總是把這作為一劑靈丹妙藥問病人推薦。

　　第七、八、九卷討論的是初等數(shù)論，給出了求兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)的最大公因子的“歐幾里得算法”，討論了比例、幾何級(jí)數(shù)，還給出了許多關(guān)于數(shù)論的重要定理。

　　第十卷討論無理量，即不可公度的線段，是很難讀懂的一卷。最后三卷，即第十一、十二和十三卷，論述立體幾何。目前中學(xué)幾何課本中的內(nèi)容，絕大多數(shù)都可以在《幾何原本》中找到。

　　《幾何原本》按照公理化結(jié)構(gòu)，運(yùn)用了亞里士多德的邏輯方法，建立了第一個(gè)完整的關(guān)于幾何學(xué)的演繹知識(shí)體系。所謂公理化結(jié)構(gòu)就是：選取少量的原始概念和不需證明的命題，作為定義、公設(shè)和公理，使它們成為整個(gè)體系的出發(fā)點(diǎn)和邏輯依據(jù)，然后運(yùn)用邏輯推理證明其他命題。《幾何原本》成為了兩千多年來運(yùn)用公理化方法的一個(gè)絕好典范。

　　誠(chéng)然，正如一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)家所指出的那樣，《幾何原本》存在著一些結(jié)構(gòu)上的缺陷，但這絲毫無損于這部著作的崇高價(jià)值。它的影響之深遠(yuǎn)．使得“歐幾里得”與“幾何學(xué)”幾乎成了同義語。它集中體現(xiàn)了希臘數(shù)學(xué)所奠定的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神，是人類文化遺產(chǎn)中的一塊瑰寶。