初等代數(shù)從最簡單的一元一次方程開始，一方面進而討論二元及三元的一次方程組，另一方面研究二次以上及可以轉(zhuǎn)化為二次的方程組。沿著這兩個方向繼續(xù)發(fā)展，代數(shù)在討論任意多個未知數(shù)的一次方程組，也叫線型方程組的同時還研究次數(shù)更高的一元方程組。發(fā)展到這個階段，就叫做高等代數(shù)。

　　高等代數(shù)是代數(shù)學發(fā)展到高級階段的總稱，它包括許多分支�，F(xiàn)在大學里開設(shè)的高等代數(shù)，一般包括兩部分：線性代數(shù)初步、多項式代數(shù)。

　　高等代數(shù)在初等代數(shù)的基礎(chǔ)上研究對象進一步的擴充，引進了許多新的概念以及與通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空間等。這些量具有和數(shù)相類似的運算的特點，不過研究的方法和運算的方法都更加繁復。

　　集合是具有某種屬性的事物的全體；向量是除了具有數(shù)值還同時具有方向的量；向量空間也叫線性空間，是由許多向量組成的并且符合某些特定運算的規(guī)則的集合。向量空間中的運算對象已經(jīng)不只是數(shù)，而是向量了，其運算性質(zhì)也由很大的不同了。

高等代數(shù)發(fā)展簡史

　　代數(shù)學的歷史告訴我們，在研究高次方程的求解問題上，許多數(shù)學家走過了一段頗不平坦的路途，付出了艱辛的勞動。

　　人們很早就已經(jīng)知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。關(guān)于三次方程，我國在公元七世紀，也已經(jīng)得到了一般的近似解法，這在唐朝數(shù)學家王孝通所編的《緝古算經(jīng)》就有敘述。到了十三世紀，宋代數(shù)學家秦九韶再他所著的《數(shù)書九章》這部書的“正負開方術(shù)”里，充分研究了數(shù)字高次方程的求正根法，也就是說，秦九韶那時候以得到了高次方程的一般解法。

　　在西方，直到十六世紀初的文藝復興時期，才由有意大利的數(shù)學家發(fā)現(xiàn)一元三次方程解的公式——卡當公式。

　　在數(shù)學史上，相傳這個公式是意大利數(shù)學家塔塔里亞首先得到的,后來被米蘭地區(qū)的數(shù)學家卡爾達諾(1501～1576)騙到了這個三次方程的解的公式，并發(fā)表在自己的著作里。所以現(xiàn)在人們還是叫這個公式為卡爾達諾公式(或稱卡當公式)，其實，它應該叫塔塔里亞公式。

　　三次方程被解出來后，一般的四次方程很快就被意大利的費拉里(1522～1560)解出。這就很自然的促使數(shù)學家們繼續(xù)努力尋求五次及五次以上的高次方程的解法。遺憾的是這個問題雖然耗費了許多數(shù)學家的時間和精力，但一直持續(xù)了長達三個多世紀，都沒有解決。

　　到了十九世紀初，挪威的一位青年數(shù)學家阿貝爾(1802～1829)證明了五次或五次以上的方程不可能有代數(shù)解。既這些方程的根不能用方程的系數(shù)通過加、減、乘、除、乘方、開方這些代數(shù)運算表示出來。阿貝爾的這個證明不但比較難，而且也沒有回答每一個具體的方程是否可以用代數(shù)方法求解的問題。

　　后來，五次或五次以上的方程不可能有代數(shù)解的問題，由法國的一位青年數(shù)學家伽羅華徹底解決了。伽羅華20歲的時候，因為積極參加法國資產(chǎn)階級革命運動，曾兩次被捕入獄，1832年4月，他出獄不久，便在一次私人決斗中死去，年僅21歲。

　　伽羅華在臨死前預料自己難以擺脫死亡的命運，所以曾連夜給朋友寫信，倉促地把自己生平的數(shù)學研究心得扼要寫出，并附以論文手稿。他在給朋友舍瓦利葉的信中說：“我在分析方面做出了一些新發(fā)現(xiàn)。有些是關(guān)于方程論的；有些是關(guān)于整函數(shù)的……。公開請求雅可比或高斯，不是對這些定理的正確性而是對這些定理的重要性發(fā)表意見。我希望將來有人發(fā)現(xiàn)消除所有這些混亂對它們是有益的�！�

　　伽羅華死后，按照他的遺愿，舍瓦利葉把他的信發(fā)表在《百科評論》中。他的論文手稿過了14年，才由劉維爾(1809～1882)編輯出版了他的部分文章，并向數(shù)學界推薦。

　　隨著時間的推移，伽羅華的研究成果的重要意義愈來愈為人們所認識。伽羅華雖然十分年輕，但是他在數(shù)學史上做出的貢獻，不僅是解決了幾個世紀以來一直沒有解決的高次方程的代數(shù)解的問題，更重要的是他在解決這個問題中提出了“群”的概念，并由此發(fā)展了一整套關(guān)于群和域的理論，開辟了代數(shù)學的一個嶄新的天地，直接影響了代數(shù)學研究方法的變革。從此，代數(shù)學不再以方程理論為中心內(nèi)容，而轉(zhuǎn)向?qū)Υ鷶?shù)結(jié)構(gòu)性質(zhì)的研究，促進了代數(shù)學的進一步的發(fā)展。在數(shù)學大師們的經(jīng)典著作中，伽羅華的論文是最薄的，但他的數(shù)學思想?yún)s是光輝奪目的。

高等代數(shù)的基本內(nèi)容

　　代數(shù)學從高等代數(shù)總的問題出發(fā)，又發(fā)展成為包括許多獨立分支的一個大的數(shù)學科目，比如：多項式代數(shù)、線性代數(shù)等。代數(shù)學研究的對象，也已不僅是數(shù)，還有矩陣、向量、向量空間的變換等，對于這些對象，都可以進行運算。雖然也叫做加法或乘法，但是關(guān)于數(shù)的基本運算定律，有時不再保持有效。因此代數(shù)學的內(nèi)容可以概括為研究帶有運算的一些集合，在數(shù)學中把這樣的一些集合叫做代數(shù)系統(tǒng)。比如群、環(huán)、域等。

　　多項式是一類最常見、最簡單的函數(shù)，它的應用非常廣泛。多項式理論是以代數(shù)方程的根的計算和分布作為中心問題的，也叫做方程論。研究多項式理論，主要在于探討代數(shù)方程的性質(zhì)，從而尋找簡易的解方程的方法。

　　多項式代數(shù)所研究的內(nèi)容，包括整除性理論、最大公因式、重因式等。這些大體上和中學代數(shù)里的內(nèi)容相同。多項式的整除性質(zhì)對于解代數(shù)方程是很有用的。解代數(shù)方程無非就是求對應多項式的零點，零點不存在的時候，所對應的代數(shù)方程就沒有解。

　　我們知道一次方程叫做線性方程，討論線性方程的代數(shù)就叫做線性代數(shù)。在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣。

　　行列式的概念最早是由十七世紀日本數(shù)學家關(guān)孝和提出來的，他在1683年寫了一部叫做《解伏題之法》的著作，標題的意思是“解行列式問題的方法”，書里對行列式的概念和它的展開已經(jīng)有了清楚的敘述。歐洲第一個提出行列式概念的是德國的數(shù)學家萊布尼茨。德國數(shù)學家雅可比于1841年總結(jié)并提出了行列式的系統(tǒng)理論。

　　行列式有一定的計算規(guī)則，利用行列式可以把一個線性方程組的解表示成公式，因此行列式是解線性方程組的工具。行列式可以把一個線性方程組的解表示成公式，也就是說行列式代表著一個數(shù)。

　　因為行列式要求行數(shù)等于列數(shù)，排成的表總是正方形的，通過對它的研究又發(fā)現(xiàn)了矩陣的理論。矩陣也是由數(shù)排成行和列的數(shù)表，可以行數(shù)和烈數(shù)相等也可以不等。

　　矩陣和行列式是兩個完全不同的概念，行列式代表著一個數(shù)，而矩陣僅僅是一些數(shù)的有順序的擺法。利用矩陣這個工具，可以把線性方程組中的系數(shù)組成向量空間中的向量；這樣對于一個多元線性方程組的解的情況，以及不同解之間的關(guān)系等等一系列理論上的問題，就都可以得到徹底的解決。矩陣的應用是多方面的，不僅在數(shù)學領(lǐng)域里，而且在力學、物理、科技等方面都十分廣泛的應用。

　　代數(shù)學研究的對象，不僅是數(shù)，也可能是矩陣、向量、向量空間的變換等，對于這些對象，都可以進行運算，雖然也叫做加法或乘法，但是關(guān)于數(shù)的基本運算定律，有時不再保持有效。因此代數(shù)學的內(nèi)容可以概括稱為帶有運算的一些集合，在數(shù)學中把這樣的一些集合，叫做代數(shù)系統(tǒng)。比較重要的代數(shù)系統(tǒng)有群論、環(huán)論、域論。群論是研究數(shù)學和物理現(xiàn)象的對稱性規(guī)律的有力工具�，F(xiàn)在群的概念已成為現(xiàn)代數(shù)學中最重要的，具有概括性的一個數(shù)學的概念，廣泛應用于其他部門。

高等代數(shù)與其他學科的關(guān)系

　　代數(shù)學、幾何學、分析數(shù)學是數(shù)學的三大基礎(chǔ)學科，數(shù)學的各個分支的發(fā)生和發(fā)展，基本上都是圍繞著這三大學科進行的。那么代數(shù)學與另兩門學科的區(qū)別在哪兒呢？

　　首先，代數(shù)運算是有限次的，而且缺乏連續(xù)性的概念，也就是說，代數(shù)學主要是關(guān)于離散性的。盡管在現(xiàn)實中連續(xù)性和不連續(xù)性是辯證的統(tǒng)一的，但是為了認識現(xiàn)實，有時候需要把它分成幾個部分，然后分別地研究認識，在綜合起來，就得到對現(xiàn)實的總的認識。這是我們認識事物的簡單但是科學的重要手段，也是代數(shù)學的基本思想和方法。代數(shù)學注意到離散關(guān)系，并不能說明這時它的缺點，時間已經(jīng)多次、多方位的證明了代數(shù)學的這一特點是有效的。

　　其次，代數(shù)學除了對物理、化學等科學有直接的實踐意義外，就數(shù)學本身來說，代數(shù)學也占有重要的地位。代數(shù)學中發(fā)生的許多新的思想和概念，大大地豐富了數(shù)學的許多分支，成為眾多學科的共同基礎(chǔ)。