公元1742年6月7日哥德巴赫寫信給當時的大數學家歐拉，提出了以下的猜想：“任何不小于4的整數都可以表示成兩個或兩個以上的素數之和”(與現今表達有出入，原因是哥德巴赫認為1也是素數，參見書信復印件的圖示)。

　　現今的表達方式有

　　任何一個大于2的偶數，都可以表示成兩個素數之和。(A) (例: 4 = 2 + 2)
　　任何一個不小于9的奇數，都可以表示成三個奇素數之和。(B) (例: 9 = 3 + 3 + 3)
　　任何一個大于5的奇數(偶數亦可)，都可以表示成三個素數之和。(C) (例: 7 = 2 + 2 + 3 ；6 = 2 + 2 + 2)
　　其中，猜想A是歐拉在回信中使用的表達，被稱為二重哥德巴赫猜想或強猜想，猜想B與猜想C被稱為三重歌德巴赫猜想或弱猜想。通過初等的代數變換，可以知道A是B與C的充分條件，即若A正確即可推出B以及C正確。

　　關于該猜想最初的突破來自俄國的維諾格拉多夫，他用圓法和指數和估計無條件地證明了猜想B是正確的。他證明了每一個充分大的奇數都可以表示成三個奇素數的和。這里，充分大的下限可表示為大約10的400次方。于是關于猜想B的證明便歸結為驗證小于該數的每一個奇數。

　　1966年，陳景潤證明了“1 + 2”，也就是：“任何一個足夠大的偶數，都可以表示為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和”。

　　試圖證明
　　就像許多著名的數學未解問題，對哥德巴赫猜想有不少宣稱的證明，但都未為數學界所接受。

　　因為哥德巴赫猜想容易為行外人理解，這一直是偽數學家一個很普遍的目標。他們試圖證明它，或有時試圖反證它，使用的僅是高中數學。它和四色定理和費馬最后定理遭遇相同，后兩問題都易于敘述，但其證明則非一般地繁復。

　　像哥德巴赫猜想這類問題，不能排除以簡單方法解決的可能，但以專業數學家對這類問題所花費的大量精力，第一個證明并不可能容易得出。

　　從6＝3＋3、8＝3＋5、10＝5＋5、……、100＝3＋97＝11＋89＝17＋83、……這些具體的例子中，可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。有人甚至逐一驗證了3300萬以內的所有偶數，竟然沒有一個不符合哥德巴赫猜想的。20世紀，隨著計算機技術的發展，數學家們發現哥德巴赫猜想對于更大的數依然成立。可是自然數是無限的，誰知道會不會在某一個足夠大的偶數上，突然出現哥德巴赫猜想的反例呢？于是人們逐步改變了探究問題的方式。

　　1900年，20世紀最偉大的數學家希爾伯特，在國際數學家大會上把“哥德巴赫猜想”列為23個數學難題之一。此后，20世紀的數學家們在世界范圍內“聯手”進攻“哥德巴赫猜想”堡壘，終于取得了輝煌的成果。

　　20世紀的數學家們研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是篩法、圓法、密率法和三角和法等等高深的數學方法。解決這個猜想的思路，就像“縮小包圍圈”一樣，逐步逼近最后的結果。

　　1920年，挪威數學家布朗證明了定理“9＋9”，由此劃定了進攻“哥德巴赫猜想”的“大包圍圈”。這個“9＋9”是怎么回事呢？所謂“9＋9”，翻譯成數學語言就是：“任何一個足夠大的偶數，都可以表示成其它兩個數之和，而這兩個數中的每個數，都是9個奇質數之乘積。” 從這個“9＋9”開始，全世界的數學家集中力量“縮小包圍圈”，當然最后的目標就是“1＋1”了。

　　1924年，德國數學家雷德馬赫證明了定理“7＋7”。很快，“6＋6”、“5＋5”、“4＋4”和“3＋3”逐一被攻陷。1957年，中國數學家王元證明了“2＋3”。1962年，中國數學家潘承洞證明了“1＋5”，同年又和王元合作證明了“1＋4”。1965年，蘇聯數學家證明了“1＋3”。

　　1966年，中國數學家陳景潤攻克了“1＋2”，也就是：“任何一個足夠大的偶數，都可以表示成兩個數之和，而這兩個數中的一個就是奇質數，另一個則是兩個奇質數的乘積。”這個定理被世界數學界稱為“陳氏定理”。

　　由于陳景潤的貢獻，人類距離哥德巴赫猜想的最后結果“1＋1”僅有一步之遙了。但為了實現這最后的一步，也許還要歷經一個漫長的探索過程。有許多數學家認為，要想證明“1＋1”，必須通過創造新的數學方法，以往的路很可能都是走不通的。

　　民間數學愛好者的嘗試
　　有很多非專業數學愛好者試圖證明這個猜想，但是這些證明往往被看作民間“猜想”愛好者不自量力的舉動。專業數學研究者認為證明這一猜想需要深刻的數論理論知識，然而幾乎所有的民間數學愛好者的“證明”使用的數學工具往往僅僅是初等數學或者微積分。對此專業人士認為，依*這些簡單的數學工具是無法證明哥德巴赫猜想的，并且因此而希望民間愛好者停止嘗試。